10. – 13. Schuljahr

Peter Lingemann

Anschauliches Zug-Tunnel-Paradoxon

Spezielle Relativitätstheorie: Material zur Lösung eines vermeintlichen Paradoxons der Längenkontraktion ohne Minkowski-Diagramme

Das „Paradoxon der Längenkontraktion im Bereich der speziellen Relativitätstheorie das hier als Zug-Tunnel-Paradoxon ausgeführt wird ist ein wichtiges Beispiel zur Verdeutlichung der „Relativität der Gleichzeitigkeit. Es wird üblicherweise unter Nutzung eines Minkowski-Diagramms aufgelöst einer Vorgehensweise, die voraussetzt, dass die Schülerinnen und Schüler mit dieser Visualisierungsmethode sehr vertraut sind. Insbesondere für die Fälle, in denen Minkowski-Dia-gramme im Unterricht noch nicht behandelt wurden oder gar nicht zur Verfügung stehen, wird hier ein Material vorgestellt, welches das Geschehen als eher klassisch anmutende Bilderabfolgen entwickelt. Den Schülerinnen und Schülern ist es damit möglich, sich das vermeintliche Paradoxon schrittweise selbst zu erschließen und es am Ende selbst aufzulösen.
Der scheinbare Widerspruch entsteht in einem Gedankenexperiment, in dem z.B. ein Zug mit der Geschwindigkeit v = 2/3 c in einen Tunnel einfährt, der die gleiche Eigenlänge wie der Zug hat. Für einen am Gleis ruhenden Beobachter ist der Zug also kontrahiert und passt vollständig in den Tunnel hinein. Tore an den Enden des Tunnels können für einen kurzen Moment gleichzeitig schließen. Für eine Person, die im Zug mitfährt, scheint das nicht möglich zu sein, denn sie misst den Tunnel mit verkürzter Länge, sodass der Zug nicht hineinpasst und die Tore nicht gleichzeitig geschlossen werden können.
Material und Aufgabenstellung
Im Arbeitsmaterial (s. Abb. 1 ) haben Zug und Tunnel beide Eigenlängen von l0 = 1200 m, was in der Abbildung der Länge von 12 Kästchen entspricht. Bei einer Relativgeschwindigkeit von 2/3 c ergibt sich eine verkürzte Länge von l  900 m.1) Von dem etwa 11 μs dauernden Vorgang2) der Tunneldurchfahrt sind jeweils nur Ausschnitte dargestellt. Die Lichtgeschwindigkeit wird der Einfachheit halber zu 300000000 m/s angenommen.
Ausgangslage ist die Idee des gleichzeitigen Schließens der Tore im Ruhesystem des Tunnels. Dazu wird von der Tunnelmitte ein Funksignal an die Tore gesendet, sobald ein bestimmter Punkt des Zuges dort vorbeikommt. (In diesem Beispiel: Sobald die Zugspitze (D) die Tunnelmitte erreicht.)
Aufgabe der Schülerinnen und Schüler ist es nun, die Bewegung des Zuges und die Ausbreitung des Funksignals in die Bilder, die die Situation in Zeitintervallen von 1 μs darstellen, einzuzeichnen, um so anzugeben, wann die Tore kurz schließen. Eine mögliche Aufgabenstellung in vier Schritten ist in Kasten 1 angegeben.
Zug im Tunnel
Zug im Tunnel
Maßstab: 1 Kästchen = 100 m;
c = 3∙ 108 m/s = 3 Kästchen/μs; v = 2/3 c
In der linken Spalte betrachten Sie den Vorgang aus dem Ruhesystem des Tunnels, in der rechten Spalte aus dem Ruhesystem des Zugs.
  • a) Ergänzen Sie in der linken Spalte die Positionen des Zuges im Laufe der Zeit.
  • b) Markieren Sie jeweils mit farbigem Buntstift den Raum, der vom Funksignal schon erreicht wurde.
  • c) Verfahren Sie ebenso in der rechten Spalte.
  • d) Erklären Sie kurz, warum kein Widerspruch vorliegt.
Die in Abbildung 2 gezeigte Lösung lässt die Lernenden erkennen, dass der Zug für einen Beobachter im Tunnelsystem bereits 2 μs nach Passieren der Tunnelmitte vollständig eingefahren ist und das Funksignal die Tore erreicht.
Die der Auflösung des Paradoxons zugrundeliegende und den Schülerinnen und Schülern bereits bekannte Idee der „Relativität der Gleichzeitigkeit wird deutlich, wenn der gleiche Vorgang aus Sicht eines im Zug Mitfahrenden beschrieben wird. Wie die Lösung zeigt, erreichen die Funksignale die Tore nicht gleichzeitig sondern nach 0,9 μs und 4,5 μs und damit zu Zeiten, zu denen der Zug keines der Tore blockiert.3) Das Schließen der Tore findet also für einen Beobachter im Zug nicht gleichzeitig statt. Dies stimmt mit der Erkenntnis der...

Weiterlesen im Heft

Vorteile im Abo

Exklusiver Online-Zugriff auf die digitalen Ausgaben der abonnierten Zeitschrift
Print-Ausgabe der abonnierten Zeitschrift bequem nach Hause
Zusatzvorteile für Abonnenten im Online-Shop genießen