10. – 13. Schuljahr

von Patrik Vogt und Lutz Kasper

Bestimmung der Schallgeschwindigkeit mit Messschieber und Glockenspiel

Ermittelt wird die longitudinale Schallgeschwindigkeit des Klangplättchen-Materials eines Glockenspiels. Hierbei macht man sich zunutze, dass zwischen der Tonfrequenz und der Schallgeschwindigkeit ein eindeutiger Zusammenhang besteht. Die quantitative Beschreibung einer solchen Biegeschwingung ist zwar im Allgemeinen sehr komplex, führt aus Geometriegründen hier jedoch auf eine erstaunlich einfache Gesetzmäßigkeit.
Material
  • Messschieber
  • Glockenspiel aus Nickel (s. Abb. 1 )
Theoretischer Hintergrund
Die Eigenfrequenzen fk der Biegeschwingungen eines beidseitig freien Stabes betragen
$$f_{k}^{}=\frac{s_{k}^{2}}{2\mathrm{\pi }l_{}^{\mathit{2}}}\sqrt{\frac{E\cdot I_{\mathrm{a}}^{}}{\rho \cdot A}}\left (1\right ),\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}s_{k}^{}=\frac{2k+1}{2}\mathrm{\pi }\left (k=1,2,3,\ldots \right )$$[1].
Dabei ist E das Elastizitätsmodul des Materials, ρ dessen Dichte, l die Stablänge, A die Querschnittsfläche und Ia das axiale Trägheitsmoment. Letzteres ergibt sich für einen Stab mit rechteckigem Querschnitt, wie er bei einem Glockenspiel genutzt wird, zu Ia = 1/12 bd3 (b Breite, d Dicke des Stabes) [1]. Einsetzen von s1, Ia, A = bd in (1) und unter Beachtung, dass der Quotient $$\sqrt{\frac{E}{\rho }}$$der longitudinalen Schallgeschwindigkeit cL entspricht, liefert die Grundfrequenz f des Stabes zu: $$f\mathit{=}\sqrt{\frac{27}{256}}\mathrm{\pi }\frac{d}{l_{}^{2}}\mathit{\cdot }c_{L}^{}\mathit{\approx }d\mathit{\cdot }c_{L}^{}\mathit{\cdot }\frac{1}{l_{}^{2}}$$(2)
Auftragen von f gegen 1/l2 ergibt somit eine Gerade der Steigung m = dcL. Somit liefert allein das Vermessen der Klangplättchen des Glockenspiels unter Kenntnis der Tonfrequenzen (diese können recherchiert oder ebenfalls gemessen werden) die longitudinale Schallgeschwindigkeit des verwendeten Materials.
Auswertung und Ergebnis
Die Abhängigkeit der Tonfrequenz (Literaturwerte aus [2]) von der mit einem Messschieber ermittelten Stablänge ist in Abbildung 2 oben dargestellt. In Übereinstimmung mit Gleichung (2) erhält man beim Abtragen der Frequenz gegen das reziproke Längenquadrat einen linearen Zusammenhang (s. Abb. 2 unten) mit einer regressionsanalytisch bestimmten Steigung von (10,24±0,03) m2/s und einem Bestimmtheitsmaß nahe eins (R2 > 0,999). Mit einer gemessenen Plättchendicke von (2,1±0,005) mm ergibt sich die Schallgeschwindigkeit in Nickel zu cL = m/d ≈ (4876±39) m/s, was mit einer erstaunlich geringen relativen Abweichung von 0,5 % sehr gut mit dem Literaturwert (4900 m/s [3]) übereinstimmt.
Weiterführende Hinweise
  • Anstatt die Literaturwerte der Tonfrequenzen zu verwenden, können diese auch experimentell bestimmt werden. Am einfachsten kommt hierzu ein Smartphone mit Frequenzanalyse-App zum Einsatz (z.B. Schallanalysator [4]).
  • Eine Herleitung der Berechnungsgleichung ist im Schulunterricht nicht möglich, jedoch können zumindest die „Je-desto-Abhängigkeiten qualitativ begründet werden: 1) f nimmt mit d zu, da die Rückstellkraft bei einer elastischen Verformung mit d größer wird. 2) f nimmt mit der Länge ab, da die zur Grundfrequenz gehörende Wellenlänge mit der Größe des tonerzeugenden Elements zunimmt. 3) f ist proportional zur Schallgeschwindigkeit, da die Schallgeschwindigkeit dem Quotienten aus Wellenlänge und Periodendauer entspricht.
Literatur
[1]Lüders, K.; von Oppen, G. : Bergmann Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1. Berlin/New York: Walter de Gruyter, 2008.

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