9. – 13. Schuljahr

Martin Ernst Kraus

Interpolieren und Extrapolieren

Komplexe Graphen deuten

Warum?
Graphen sind eine typische und hilfreiche naturwissenschaftliche Darstellungsweise von Daten. Insbesondere wenn man viele Daten erhoben hat, erlaubt ein Graph einen schnellen Überblick. Darin unterscheidet sich diese Fachmethode vom Vorgehen vieler Schülerinnen und Schüler. Diese arbeiten bevorzugt mit Wertepaaren, die sie über einfachen Dreisatz in Beziehung zueinander setzen können. Etliche Lernende setzen zudem Messreihen nicht gern in Graphen um, sondern bilden häufig aus der relativen Zu- oder Abnahme der Messwerte Differenzen und versuchen, diese direkt zu deuten.
Also müssen die Schülerinnen und Schüler lernen, Graphen zu beschreiben und zu deuten. Mit dem Beschreiben vollzieht man einen Wechsel der Repräsentationsform ein grundlegendes didaktisches Prinzip im Physikunterricht. Denn die Versprachlichung legt offen, ob die Lernenden die zugehörigen physikalischen Zusammenhänge herstellen und verknüpfen können. Die Deutung zeigt, dass der jeweilige Schüler die Besonderheiten dieser Zusammenhänge bestimmen kann. So ist ein proportionaler Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke die Grundlage einer Gesetzmäßigkeit, des Ohmschen Gesetzes. Dieses gilt aber nur in bestimmten Grenzen: Bei Erwärmung etwa erhöht sich zumeist der Widerstand, der Graph krümmt sich. Eine Deutung des Graphen muss den Zusammenhang zwischen dem Widerstand und den beiden anderen Kenngrößen des elektrischen Stromkreises herstellen.
Ein neuer Aspekt in der Oberstufenphysik ist die Prüfung, ob eine Interpolation von Graphen erlaubt oder sogar eine Extrapolation möglich ist. Beide Verfahren liefern Messwerte, die gar nicht direkt gemessen wurden oder ggf. überhaupt nicht messbar sind (wie z.B. der absolute Nullpunkt). Daher ist die entsprechende Legitimation sorgfältig zu modellieren und zu hinterfragen.
Da die Fertigkeiten im mathematischen Modellieren bei Schülerinnen und Schülern noch ziemlich eingeschränkt ausgebildet sind, wird zumeist nur linear interpoliert bzw. extrapoliert. Der Werte- und Definitionsbereich der zugehörigen Funktion müssen sinnvoll erweitert werden
Wie?
Bei der Deutung von Graphen empfiehlt es sich, systematisch vorzugehen, wie es das Arbeitsblatt 1 zeigt, das bereits Ende der Sekundarstufe I eingesetzt werden kann und sollte. Zur Deutung gehört die Beachtung der Achsen sowie die Betrachtung der Form des Graphen bis hin zur Mathematisierung. Ein Training zu Graphen findet man in [1] und [2]. Das Arbeitsblatt 1 dient der Wiederholung dieser Fertigkeiten.
Diese Fertigkeiten sind die Grundlage, um die komplexeren Graphen des Unterrichts in der Sekundarstufe II zu erfassen. Solche komplexen Graphen fordern zum Teil Inter- oder Extrapolationen, z.B.:
  • die Einbrüche der Stromstärke in der Franck-Hertz-Röhre,
  • die Kennlinie von Dioden bei der h-Bestimmung aus dem inneren Fotoeffekt,
  • die charakteristischen Peaks und die Bremsstrahlung in der Röntgenspektroskopie,
  • die Intensitätsverteilung in der Spektroskopie allgemein,
  • die Resonanz-Peaks bei der Absorptionsspektroskopie.
Eine Besonderheit der modernen Physik bildet sich auch in den zugehörigen Graphen ab. Während die klassische Physik nur stetige Prozesse betrachtet, in der die Physik – wie bei Aristoteles keine Sprünge macht, ist es ein Charakteristikum von Quantenphänomenen, dass sie sprunghaft einsetzen. Die Deutung von Graphen muss daher um die gründliche Betrachtung dieser Knicke und lokalen Maxima (Peaks) erweitert werden. Darin unterscheiden sich die Diagramme der Sekundarstufe II grundlegend von denen aus der Sekundarstufe I.
Es ist allerdings möglich, das Training für diese Jahrgangsstufe (vgl. [1], [2]) dahingehend zu erweitern, dass man Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme oder gar Zeit-Beschleunigungs-Diagramme hinsichtlich der Sprünge kritisiert: Es sind hier nur Mängel im Berechnungsverfahren, die zu Knicken im Graphen führen. Ein zweiter...

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