10. – 13. Schuljahr

Christian Burger

Die Orbitale des Wasserstoffatoms

Ein einfaches Verfahren zur Klassifizierung

Für die Beschreibung der Orbitale des Wasserstoffatoms sind folgende Quantenzahlen von Bedeutung:
  • Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, 4, …: Orbitale mit gleicher Hauptquantenzahl n gehören zu demselben Energieniveau.
  • Nebenquantenzahl l = 0, 1, ,n – 1: Die Nebenquantenzahl l wird auch Bahndrehimpulsquantenzahl genannt. Als Bezeichnung für ihre Werte 0, 1, 2, 3 haben sich auch die Buchstaben s, p, d+, f eingebürgert.
  • Magnetquantenzahl m = – l, ,0, , +l: Sie ist nur eindeutig definiert, wenn ein äußeres Magnetfeld vorliegt. Die Richtung dieses Magnetfeldes sei als z-Achse bezeichnet. Die Magnetquantenzahl m wird teilweise auch „Orientierungsquantenzahl genannt.
  • Spinquantenzahl s = +½ oder ½: Die Spinquantenzahl s beschreibt den Eigendrehimpuls des Elektrons und die damit verbundenen Eigenschaften. Der Spin kann parallel oder antiparallel zum äußeren Magnetfeld, also zur z-Achse, sein.
Aus diesen Quantenzahlen ergibt sich eine Vielzahl von Orbitalen. Jedes Orbital entspricht einer genau festgelegten Kombination der drei erstgenannten Quantenzahlen (n, l, m). Das Orbital gibt an, wie die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt des Elektrons im Atom bei den gegebenen Quantenzahlen verteilt ist. Es kommen z.B. kugelförmige, hantelförmige oder torusförmige Orbitale vor. Aber auch viel kompliziertere Formen sind bei höheren Werten der Quantenzahlen möglich.
Im Folgenden soll nun gezeigt werden, dass zwischen beiden Bereichen ein einfacher Zusammenhang angegeben werden kann: „Wenn auf einen Bierdeckel schon keine Steuererklärung passt, dann wenigstens eine Vorhersage über die Orbitalgestalten des Wasserstoffatoms!
Orbitale des Wasserstoffatoms in Physiklehrbüchern
Wer aktuelle, für Gymnasien zugelassene Physiklehrbücher zu Rate zieht, stellt fest, dass in verschiedenen Werken widersprüchliche Ergebnisse zu finden sind. Besonders augenfällig sind diese Widersprüche bei den 2p-Orbitalen. Die Werte der Quantenzahlen sind hier: Hauptquantenzahl n = 2, Nebenquantenzahl bzw. Bahndrehimpulsquantenzahl l = 1. Mögliche Werte für die Magnetquantenzahl m sind dann +1, 0 oder 1.
Widersprüchlich sind nun die Aussagen zur Auswirkung der Magnetquantenzahl auf die Gestalt des Orbitals: So findet man in Lehrbüchern bei m = 0 hantelförmige Orbitale in Richtung einer Koordinatenachse (meist als z-Achse bezeichnet) und bei den Werten m = ±1 ringförmige Orbitale, welche die z-Achse umschließen, aber auch hantelförmige Orbitale in Richtung der anderen Koordinatenachsen. Die häufige Bezeichnung „Orientierungsquantenzahl legt dabei nahe, dass die Werte von m die Ausrichtung der hantelförmigen Orbitale in x-, y-, z-Richtung charakterisieren. Diese Interpretation hält sich seit Jahrzehnten in Schulbüchern und soll hier eingehender untersucht werden.
Wie sollte ein Atom von einem kartesischen Koordinatensystem mit x-,y- und z-Achse „wissen und seine Orbitale gemäß dessen Achsen anordnen? Eine Möglichkeit, im Experiment eine räumliche Ausrichtung der Orbitale herbeizuführen, besteht im Anlegen eines äußeren Magnetfeldes. Dadurch lässt sich am Ort des Atoms jedoch nur eine Raumrichtung auszeichnen.
In den dreidimensionalen Schaubildern von Orbitalen (s. z.B. Abb. 5c und 6c) werden häufig sog. 95-%-Flächen dargestellt. Das bedeutet, dass das Elektron mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % innerhalb des von der Fläche umschlossenen Bereichs zu finden ist. Irritierend für Schülerinnen und Schüler ist dabei, dass manche Teile dieser Orbitalflächen farblich in unterschiedliche Bereiche aufgeteilt werden, die bei genauerer Betrachtung auf ein unterschiedliches Vorzeichen der Wellenfunktion hindeuten. Was hat ein negatives Vorzeichen aber für einen Sinn, wenn von der Wahrscheinlichkeit die Rede ist, ein Elektron in einem bestimmten Bereich innerhalb eines Atoms zu finden? 1)
Eine Analogie: Wie viele Typen Spielwürfel...

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