10. – 13. Schuljahr

Michael Rode

Das Zeigermodell im Unterricht über Quantenphysik nutzen

Eine kurze Anleitung

In diesem Beitrag werden zunächst die Grundlagen des Zeigermodells knapp dargestellt mit dem Ziel, Anwendungshinweise zu geben. An diesen grundlegenden Teil schließen sich je ein Abschnitt über das Mach-Zehnder-Interferometer und eine Erweiterung zur Zeigermultiplikation an. Letztere gehört zwar nicht zum Kern der Curricula, es soll jedoch deutlich werden, welche besonderen Stärken das Zeigermodell entwickelt, wenn man zusätzlich zur weithin bekannten Addition von Zeigern auch deren Multiplikation einführt. Diese Multiplikation sowie die darauf aufbauende Vermittlung zwischen „Wellenbeschreibung und „stochastischer Deutung werden hier nach unserer Kenntnis erstmalig für den Unterricht elementarisiert dargestellt und ermöglichen auch einen stringenten Zugriff auf die Verschränkung (s. Kasten 5 im fachlichen Basisartikel).
Grundlagen
Mithilfe von Zeigern lassen sich die zur Beschreibung der Quantenphysik erforderlichen, komplexwertigen Funktionen schulgerecht elementarisieren. So wird das dem Gebiet inhärente Unanschauliche symbolisch unterstützt.
Diese Funktionen können in der Form Ψ(t, x) = Aei(ωt – kx) notiert werden. Dabei sind ω   = 2π/T und k = 2π/λ.
Ψ(φ) = Ae = A(cosφ + isinφ), damit lassen sich Ψ-Funktionen durch rotierende Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. In dieser Darstellung ist die Rechtsachse die reelle Achse, die Hochachse ist die imaginäre Achse (s. Abb. 1 ).
Diese Darstellung bedingt die folgenden Regeln:
  • R1: Für t = 0 und x = 0 steht der zugehörige Zeiger in „3-Uhr-Stellung („Startposition).
  • R2: Für t = 0 und wachsendes x („in Ausbreitungsrichtung) erscheinen die zu den einzelnen Oszillatoren gehörenden Zeiger im Uhrzeigersinn weitergedreht. Nach einer Wellenlänge ist eine vollständige Drehung absolviert.
  • R3: Für einen ausgewählten Oszillator an einem festen Ort x erfolgt die Drehung des Zeigers mit zunehmender Zeit t gegen den Uhrzeigersinn. Nach Ablauf einer Periodendauer T hat sich dieser Zeiger einmal gedreht.
Erste Schritte
Es hat sich bewährt, im Unterricht zu untersuchende Situationen zunächst mit einer fiktiven Wellenlänge von λ = 4 cm durchzuführen. In der Regel wird man den Zeitpunkt t = 0 betrachten. Unter diesen Bedingungen kann man Zeigerstellungen mithilfe eines Lineals auf Achtel-Umdrehungen genau bestimmen (s. Abb. 2 ).
Erst später und mit dynamischen Geometrieprogrammen wird man auch die Zeit variieren, z.B. um sich zu überzeugen, dass die Interferenzmuster zeitlich konstant sind.
Einsatz des Zeigermodells
Das Zeigermodell ist bereichsübergreifend. In meinem Unterricht wird es bereits eingeführt, um Schwingungen oder Wellen zu beschreiben. In diesem Fall bedeuten die Länge des Zeigers |Ψ| die (reelle) Amplitude und das in der Quantenphysik wichtige |Ψ|² die Intensität.
Auch eine der beiden Projektionen auf die Achsen hat im klassischen Fall eine Bedeutung: Im mechanischen Fall beschreibt sie die Elongation, je nach Achse, auf die man projiziert, dies gilt sowohl für longitudinale als auch für transversale Wellen. Bei elektromagnetischen Wellen bedeutet die Projektion auf die Hochachse die elektrische Feldstärke (s.a. die ausführliche Einführung in [1]).
In der Quantenphysik kommt den Projektionen keine selbstständige Bedeutung zu. In quantenphysikalischen Situationen ergibt |Ψ|² ein Maß für die Nachweiswahrscheinlichkeit, mit der man in einem gegebenen Aufbau ein auf festgelegte Weise präpariertes Quantenobjekt in einem Detektor nachweisen kann.
Beschreibung von Interferenz
Um Standardsituationen zu verstehen, bietet es sich an, zunächst stets auf der Grundlage von Prinzipzeichnungen und mit λ = 4 cm zu arbeiten. Man geht dann folgendermaßen vor:
  • Das Prinzip des Aufbaus wird großformatig aufgezeichnet.
  • Die Längen aller denkbaren Verbindungen Quelle – Detektor („Pfade) werden ausgemessen.
  • Die zugehörigen Zeigerstellungen...

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